A l'occasion d'une donne jouée récemment, et lors de laquelle les adversaires avaient abouti au contrat de 7 Coeur, alors que le partenaire, après avoir posé le Blackwood avait en principe conclu à 6 Coeur, je me suis rappelé ce conseil dont je n'ai plus souvenance de l'origine : "on joue le petit chelem avec 50 % de chances de réussite, et le grand avec 75 %". Et aussi : "on joue une manche à une chance sur trois".
Que penser de ces affirmations ?
Petite précaution oratoire, si j'ose dire : tout ce qui suit, c'est de la théorie, sans tenir compte d'éléments complémentaires qui peuvent vous aider dans votre décision : le niveau de vos adversaires, la confiance dans les enchères de votre partenaire et lui, dans les vôtres, etc...
Cet article est divisé en deux parties : la première dresse le tableau final des probabilités et la deuxième est réservée aux matheux d'entre vous, avec tous les détails mathématiques, formules à l'appui.
Il faut considérer trois contextes : la partie libre, le tournoi en carré et le tournoi par paires.
Le cas le plus simple à résoudre est celui de la partie libre, car la donne que vous jouez ne l'est qu'à votre table : il ne faut pas tenir compte de ce qui se passe aux autres tables...
1. Tableau récapitulatif des situations et probabilités à partir desquelles on tente le contrat indiqué
| Manche | Petit chelem | Grand chelem | ||||
| Non vulnérable | Vulnérable | Non vulnérable | Vulnérable | Non vulnérable | Vulnérable | |
| Partie libre | 42% | 40% | 47% | 48% | 67% | 67% |
| Carré | 45% | 38% | 49% | 49% | 56% | 56% |
| Paires |
Annoncer avec 45% ou plus, ne pas annoncer avec 55% ou moins, suivant estimation de ce que les autres paires vont décider (ne pas l'annoncer ou l'annoncer) | |||||
2. Calculs mathématiques conduisant à ces résultats
En partie libre
Annoncer la manche
Soit :
- m les points d'un contrat juste sous la manche
- M les points de la manche
- c les points de pénalité d'une chute
- b le bonus des levées supplémentaires entre la manche et le chelem
- p la probabilité de réussir la manche
Si vous annoncez la manche, votre gain sera M si elle réussit et vous perdrez c points si elle chute.
Votre gain probable sera donc M*p - c*(1 - p).
Si vous ne l'annoncez pas, vous réalisez m si la manche n'était pas au rendez-vous et (m + b) si elle l'était.
Votre gain probable sera alors m*(1 - p) + (m + b)*p.
Donc vous annoncerez la manche si M*p - c*(1 - p) > m*(1 - p) + (m + b)*p
Ce qui donne p > (m + c) / (M + c - b).
Le petit tableau ci-dessous reprend les différents cas, en fonction du contrat et de la vulnérabilité.
| Contrat | < la manche | Bonus | Non vulnérables | Vulnérables | ||||
| m | b | Manche (M) | Chute (c) | p > (%) | Manche (M) | Chute (c) | p > (%) | |
| Mineur | 130 | 20 | 400 | 50 | 42 | 600 | 100 | 40 |
| Majeur | 140 | 30 | 420 | 50 | 43 | 620 | 100 | 41 |
| Sans-Atout | 120 | 30 | 400 | 50 | 40 | 600 | 100 | 38 |
On constate donc que la manche se joue avec environ 2 chances sur 5
Annoncer le petit chelem
Soit :
- m les points d'une manche
- M les points d'un petit chelem
- c les points de pénalité d'une chute
- b le bonus de la (mineur) ou des (majeur et sans-atout) levées supplémentaires
- p la probabilité de réussit le petit chelem
La formule est strictement identique à la formule précédente
C'est-à-dire p > (c + m) / (M + c - b)
| Contrat | Bonus | Non vulnérables | Vulnérables | ||||||
| b | Manche (m) | Chelem (M) | Chute (c) | p > (%) | Manche (m) | Chelem (M) | Chute (c) | p > (%) | |
| Mineur | 20 | 400 | 920 | 50 | 47 | 600 | 1370 | 100 | 48 |
| Majeur | 60 | 420 | 980 | 50 | 48 | 620 | 1430 | 100 | 49 |
| Sans-Atout | 90 | 400 | 990 | 50 | 47 | 600 | 1440 | 100 | 48 |
Les valeurs sont en accord avec le conseil : annoncer le petit chelem avec presque 1 chance sur 2.
Annoncer le grand chelem
Soit :
- m les points d'un petit chelem
- M les points d'un grand chelem
- c les points de pénalité d'une chute
- b le bonus d'une levée supplémentaire
- p la probabilité de réussir le grand chelem
La formule est également identique aux formules précédentes
C'est-à-dire p > (c + m) / (M + c - b)
| Contrat | Bonus | Non vulnérables | Vulnérables | ||||||
| b | Chelem (m) | Chelem (M) | Chute (c) | p > (%) | Chelem (m) | Chelem (M) | Chute (c) | p > (%) | |
| Mineur | 20 | 920 | 1440 | 50 | 66 | 1370 | 2140 | 100 | 66 |
| Majeur | 30 | 980 | 1510 | 50 | 67 | 1430 | 2210 | 100 | 67 |
| Sans-Atout | 30 | 990 | 1520 | 50 | 68 | 1440 | 2220 | 100 | 67 |
On voit ici qu'il faut annoncer le grand chelem avec 2 chances sur 3 et non pas 3 chances sur 4, d'après le conseil.
Toujours est-il que les conseils sont ici assez proche des calculs de probabilité correspondants.
Tournoi en carré
En carré, tout se calcule en IMPs (International Match Points), conversion des points de match suivant une grille définie une fois pour toutes. Vous trouverez facilement le tableau des conversions sur Internet, par exemple ici : https://cbwsl.be/images/cbsl/divers/IMPs.pdf
Contrairement à la partie libre où les points s'additionnent où se soustraient mathématiquement, il faut passer par le tableau de conversion en IMP.
Je m'explique par un exemple : le contrat de 4 Coeur non vulnérables rapporte 420 points et 3 Coeur avec une levée de mieux rapporte 170 points. Donc la réussite de 4 Coeur rapporte 250 points de match de plus que la partielle.
En IMPs, on ne converti pas 420, 170 et puis une soustraction, non, on converti la différence, 250 points, qui deviennent ainsi 6 IMPs.
Que ce soit annoncer la manche au lieu de la partielle, le petit chelem au lieu de la manche ou le grand chelem au lieu du petit, nous devons maximiser nos gains en IMPs.
Soit p la probabilité que le contrat réussisse et donc (1 - p) qu'il chute.
Prenons un exemple, c'est plus "parlant" : vulnérables, vous hésitez à annoncer la manche à Pique.
Si vous l'annoncez et la réalisez, vous marquez 620 alors qu'à l'autre table, les adversaires, s'ils restent à 3 Pique, marqueront 170 (3 Pique + 1 levée supplémentaire). Vous avez donc un gain de 450 points, soit 10 IMPs.
Si vous l'annoncez et chutez de 1 levée, vous avez une pénalité de 100 points alors que les adversaires à l'autre table marque 140, donc ils marquent 240 points, soit 6 IMPs.
Il faut évidemment faire intervenir, in fine, la probabilité p de réussite du contrat.
Vous annoncerez le contrat supérieur si 10*p > 6*(1 - p), c'est-à-dire si p > 6 / 16, soit (arrondi) 38 % de chances.
En revanche, si vous n'annoncez pas le contrat supérieur mais qu'à l'autre table on l'annonce, vous pouvez calculez que vous avez raison si les chances de réussite du contrat supérieur sont inférieures à 38 %.
Dans les tableaux récapitulatifs ci-dessous, on notera le signe + sur certains entêtes : il signifie que le contrat est sujet à bonus, ce bonus étant inclus dans la marque encodée. Par exemple pour l'annonce de la manche, la partielle obtiendra un levée de plus si la manche réussit..
Annoncer la manche
| Contrat | Non vulnérables | ||||||||
| Partielle + |
Manche réussie | Delta | IMP + | Partielle | Manche chutée | Delta | IMP - | p > (%) | |
| Mineur | 150 | 400 | 250 | 6 | 130 | 50 | 180 | 5 | 45 |
| Majeur | 170 | 420 | 250 | 6 | 140 | 50 | 190 | 5 | 45 |
| Sans-Atout | 150 | 400 | 250 | 6 | 120 | 50 | 170 | 5 | 45 |
| Contrat | Vulnérables | ||||||||
| Partielle + |
Manche réussie | Delta | IMP + | Partielle | Manche chutée | Delta | IMP - | p > (%) | |
| Mineur | 150 | 600 | 450 | 10 | 130 | 100 | 230 | 6 | 38 |
| Majeur | 170 | 620 | 450 | 10 | 140 | 100 | 240 | 6 | 38 |
| Sans-Atout | 150 | 600 | 450 | 10 | 120 | 100 | 220 | 6 | 38 |
Ici on constate qu'il faut annoncer la manche par rapport à une partielle si on a 45 % de réussite non vulnérables et 38 % vulnérables.
Annoncer le petit chelem
| Contrat | Non vulnérables | ||||||||
| Manche + | Petit Chelem réussi | Delta | IMP + | Manche + | Petit Chelem chuté | Delta | IMP - | p > (%) | |
| Mineur | 420 | 920 | 500 | 11 | 400 | 50 | 450 | 10 | 48 |
| Majeur | 480 | 980 | 500 | 11 | 420 | 50 | 470 | 11 | 50 |
| Sans-Atout | 490 | 990 | 500 | 11 | 430 | 50 | 480 | 11 | 50 |
| Contrat | Vulnérables | ||||||||
| Manche + | Petit Chelem réussi | Delta | IMP + | Manche + | Petit Chelem chuté | Delta | IMP - | p > (%) | |
| Mineur | 620 | 1370 | 750 | 13 | 620 | 100 | 720 | 12 | 48 |
| Majeur | 680 | 1430 | 750 | 13 | 650 | 100 | 750 | 13 | 50 |
| Sans-Atout | 690 | 1440 | 750 | 13 | 660 | 100 | 760 | 13 | 50 |
On annoncera le petit chelem, vulnérable ou pas, à une chance sur deux.
Annoncer le grand chelem
| Contrat | Non vulnérables | ||||||||
| Petit Chelem + | Grand Chelem réussi | Delta | IMP + | Petit Chelem | Grand Chelem chuté | Delta | IMP - | p > (%) | |
| Mineur | 940 | 1440 | 500 | 11 | 920 | 50 | 970 | 14 | 56 |
| Majeur | 1010 | 1510 | 500 | 11 | 980 | 50 | 1030 | 14 | 56 |
| Sans-Atout | 1020 | 1520 | 500 | 11 | 990 | 50 | 1040 | 14 | 56 |
| Contrat | Vulnérables | ||||||||
| Petit Chelem + | Grand Chelem réussi | Delta | IMP + | Petit Chelem | Grand Chelem chuté | Delta | IMP - | p > (%) | |
| Mineur | 1390 | 2140 | 750 | 13 | 1370 | 100 | 1470 | 16 | 55 |
| Majeur | 1460 | 2210 | 750 | 13 | 1430 | 100 | 1530 | 17 | 57 |
| Sans-Atout | 1470 | 2220 | 750 | 13 | 1440 | 100 | 1540 | 17 | 57 |
On annoncera le grand chelem, vulnérable ou pas, s'il a environ 56 % de chances de réussite.
Les conseils sont relativement proches des calculs sauf pour le grand chelem.
Tournoi par paires
En tournoi par paires, celui sans doute que vous jouez dans votre club, les points attribués sont essentiellement dépendants, donne par donne, de la place que vous occupez en points de match classique.
La place, et non pas la valeur des points et cela change tout par rapport aux tournois en carré !
La vulnérabilité ne joue ici aucun rôle dans votre décision d'annonces, et il n'y a pas de différence entre les différents contrats (manche contre partielle, petit chelem contre manche, grand chelem contre petit chelem).
L'explication des formules est reprise en bas de cet article.
Petit rappel : une donne étant jouée N fois, le top est à 2*(N - 1) (note 1)
On attribue donc le top à la paire qui a fait, seule, le score le plus grand, puis au suivant le top moins 2 points etc... jusqu'à zéro pour le dernier. En cas d'ex aequo, on réparti les points équitablement (note 1).
Si toutes les paires font le même score sur une donne, chacune engrange (N - 1) points (note 2).
A présent la question à cinq francs : vos enchères vous amènent à devoir prendre une décision : annoncer la manche ou s'arrêter en partielle, annoncer le petit chelem ou s'arrêter à la manche, annoncer le grand chelem ou s'arrêter au petit chelem.
Nous allons considérer deux cas :
- Toutes les autres paires s'arrêtent avant la manche, le petit chelem ou le grand chelem, vous pas
- Toutes les autres paires l'annoncent, vous pas
Suite à ce qui est expliqué plus haut, ni le contrat lui-même ni la vulnérabilité ne sont à tenir en compte.
Cas 1 : les autres paires s'arrêtent ...vous pas
Si vous réussissez votre contrat,vous aurez donc un top, soit 2*(N - 1) points, les autres paires se partageant les miettes, soit (N - 2) points (note 3).
Par contre si vous chutez, vous aurez un beau zéro, et les autres paires se partage le butin, soit (N - 1) points chacune.
La probabilité de réussir votre contrat étant p, votre gain par rapport aux autres paires, si vous le réussissez est de 2*(N - 1) - (N - 2).
Et si vous le chutez, probabilité de (1 - p), votre perte par rapport aux autres paires sera de (N - 1).
Vous pouvez donc annoncer le contrat si votre gain en réussissant est supérieur à votre perte en le chutant, mais il faut bien sûr pondérer ces valeurs avec la probabilité p.
Mis en équation cela donne la condition suivante : (2*(N - 1) - (N - 2))*p > (N - 1)*(1 - p),
c'est-à-dire p > (N - 1)/(2*N - 1).
La valeur finale de p dépend donc du nombre de paires ayant joué la donne.
Pour N = 3, c'est 40 %, et la valeur augmente au fur et à mesure pour se rapprocher de 50 %.
Vous pouvez donc annoncer le contrat dès que vous estimez avoir 1 chance sur deux, voire un peu moins, de le réaliser.
Cas 2 : toutes les paires l'annoncent... vous pas
Si le contrat réussit (probabilité p), vous aurez un beau zéro et toutes les autres paires se partagent les points, soit (N - 1) chacune. Et s'il chute, vous faites un top à 2*(N - 1) et les autres récoltent chacune (N - 2).
Tous calculs faits, on arrive à la conclusion qu'il ne faut pas annoncer le contrat si p < N/(2*N - 1).
La valeur finale de p dépend donc du nombre de paires ayant joué la donne.
Pour N = 3, c'est 60 %, et la valeur diminue au fur et à mesure pour se rapprocher de 50 %.
Vous pouvez donc ne pas annoncer le contrat dès que vous estimez qu'il y a 1 chance sur deux, voire un peu plus, de le réaliser.
En conclusion, si vous estimez que la majorité des paires n'annonceront pas le contrat, annoncez-le avec 45 % de chances au moins, et si vous estimez que la majorité des paires vont l'annoncer, ne l'annoncez pas s'il a 55 % de chances ou moins.
Tout ceci est bien théorique car, durant le tournoi, difficile à estimer le comportement moyen des autres paires de votre champ et aussi, difficile à estimer les chances de réussite des contrats !
Comme déjà signalé plus haut, allez me faire un estimation correct du pourcentage de réussite de votre contrat ... durant les enchères !
Note 1
La formule paraît curieuse, n'est ce pas ?
En fait, elle permet d'avoir toujours des points de match entier, même en cas de partage d'ex aequo (ou plus).
Par exemple si N = 8, qu'une paire fait le top un paire le bottom et une paire l'avant dernier score, les cinq paires centrales étant ex aequo, cet ex aequo rapporte à chacune de ces cinq paires 8 points.
Note 2
La somme des points attribués = 0 + 2 + 4 + ... + 2*(N - 1) = N*(N - 1) (progression arithmétique de raison 2)
Si toutes les paires sont ex aequo, elles recoivent chacune N*(N -1)/N = N -1 points.
Note 3
Le top étant attribué à une paire, on distribue le solde aux autres paires (supposées par simplification) ex aequo.
On doit donc distribuer 0 + 2 + 4 + ... + 2*(N - 2) = (N - 1)*(N - 2) à (N - 1) paires.
Chaque paire encaisse donc (N - 2) points.